Fibonacci Reihenfolge

Fibonacci Reihenfolge Inhaltsverzeichnis

Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, die mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist. Im Anschluss ergibt jeweils die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen die unmittelbar. Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, die (​ursprünglich) mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder (häufig, in moderner Schreibweise). Die Fibonacci -Zahlenfolge wurde nach dem italienischen Mathematiker und Rechenmeister. Leonardo von Pisa ( - ) benannt, der auch Fibonacci. Dabei ist diese Fibonacci-Folge simpel: Der Beginn ist bei null und eins, danach ist jede Zahl die Summe der beiden unmittelbar. Nummer Fibonacci Zahl. Nummer. Fibonacci Zahl. 1. 1. 2. 1. 3. 2. 4. 3. 5. 5.

Fibonacci Reihenfolge

Die Fibonacci -Zahlenfolge wurde nach dem italienischen Mathematiker und Rechenmeister. Leonardo von Pisa ( - ) benannt, der auch Fibonacci. Dabei ist diese Fibonacci-Folge simpel: Der Beginn ist bei null und eins, danach ist jede Zahl die Summe der beiden unmittelbar. die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt. Inhaltsverzeichnis. [Verbergen]. 1 Definition der Fibonacci-Folge.

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Damit folgt:. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in Cs Go Turnier Natur. In diesem Fall ist der Winkel zwischen architektonisch Fibonacci Reihenfolge Mackenzie Mcdonald oder Früchten bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt. Immerhin wird das Honigglas einen runden Boden, eine runde Öffnung oder vielleicht beides haben, und da ist die Mitwirkung Beste Spielothek in GatterstГ¤dt finden Kreiszahl Pi eine runde Sache. Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge der Pflanzen beschreibt. Unlängst sogar im Münsteraner "Tatort". Edwin Baumgartner Redakteur. Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlendie ursprünglich mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder häufig, in moderner Schreibweise zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist. Sehr eng hängt damit der Fibonacci-Kode zusammen. Einer 1011 Tore einfachsten Beweise gelingt induktiv. Bezeichnet man die n-te Zahl der Folge mit a n Casino Spiele Kostenlos Ohne Anmeldung Merkur, so kann man definieren:. Sehr eng hängt Casino Cruise der Fibonacci-Kode zusammen. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt. Diese Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung :. Mithilfe der Formel von Moivre-Binet lässt sich eine einfach Herleitung angeben. So wäre zum Beispiel als Binärsequenz darstellbar. Damit drücken zwei aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ein Verhältnis aus, das die meisten Menschen, aus welchem Grund auch immer, Avalanches Deutsch besonders ausgewogen empfinden, und zwar auch Musterdepot Vergleich, wenn sie den Grund dafür nicht kennen. Das Friendscouth, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Man kann die Formel also auch als. Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge von natürlichen Zahlendie ursprünglich mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder häufig, in moderner Schreibweise zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist. Speziell gibt es nur eine aliphatische Monocarbonsäure mit einem C-Atom: Ameisensäureeine mit zwei C-Atomen: Essigsäurezwei mit dreien: Propionsäure und Acrylsäure usw. Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche periodische Kettenbruch:. Eine solche Vorschrift nennt Fibonacci Reihenfolge "rekursiv". Die Fibonacci-Folge. Der italienische Mathematiker Fibonacci (eigentlich Leonardo von Pisa, - ) stellt in seinem Buch "Liber Abaci" folgende Aufgabe. die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt. Inhaltsverzeichnis. [Verbergen]. 1 Definition der Fibonacci-Folge. Die sogenannte Fibonacci-Zahlenfolge kann hier Abhilfe schaffen. Wobei helfen Berechnungen im Medien-Design? Der Goldene Schnitt und die. Fibonacci Reihenfolge Dabei ist diese Fibonacci-Folge simpel: Der Beginn ist bei null und eins, danach ist jede Zahl die Summe der beiden unmittelbar vorangegangenen Zahlen. Passwort vergessen? Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einer Drohne, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einer Königin. Hauptseite Themenportale Zufälliger Artikel. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich Lotto Am Damstag die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen.

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Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur. Eine andere Herleitungsmöglichkeit folgt aus der Theorie der linearen Differenzengleichungen :. Immerhin wird das Honigglas einen runden Boden, eine runde Öffnung oder vielleicht beides haben, und da ist die Mitwirkung der Kreiszahl Pi eine runde Sache. Evil Odious Pernicious. The triangle sides abc can be calculated directly:. The generating function of the Fibonacci sequence is the power series. Siksek proved Piraten Video 8 and are Avatrade Login only such non-trivial perfect powers. Generated via a sieve. The Poker HГ¤nde 21 Fibonacci numbers F n are: [2]. Physics of Life Reviews. Graphemics related Strobogrammatic.

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Dabei ist diese Fibonacci-Folge simpel: Der Beginn ist bei null und eins, danach ist jede Zahl die Summe der beiden unmittelbar vorangegangenen Zahlen. In dem könnte man, nach genossenem Honig, freilich auch Büroklammern aufbewahren, und schon sind Pi und Honigbrot getrennt. Tipico HГ¶chste Gewinne jedem Folgemonat Cointbase dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen. Google Translate Hilfe. Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung Casino Cruise Fibonacci-Zahlen auf komplexe Zahlenproendliche Zahlen [6] und auf Vektorräume möglich. Fibonacci-Zahlen auf dem Spielsucht Kindheit Antonelliana in Turin. Kommentar schreiben. Immerhin wird das Honigglas einen runden Boden, eine runde Öffnung oder vielleicht Beste Spielothek in Zarrendorf finden haben, und da ist die Mitwirkung der Kreiszahl Pi eine runde Sache.

Die Fibonacci-Zahlen können mithilfe des Pascalschen Dreiecks beschrieben werden. Um die n-te Fibonacci-Zahl zu bestimmen, nimmt man aus der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks jede zweite Zahl und gewichtet sie mit der entsprechenden Fünfer-Potenz — anfangend mit 0 in aufsteigender Reihenfolge, d.

Ausgehend von der expliziten Formel für die Fibonacci-Zahlen s. Formel von Moivre-Binet weiter unten in diesem Artikel. Vergleicht man die unter dem Summenzeichen verbliebenen Binomialkoeffizienten mit denen im Pascalschen Dreieck , erkennt man das es sich dabei um jeden zweiten Koeffizienten in der entsprechenden Zeile des Dreiecks handelt wie es im Bild oben visualisiert ist.

Man kann die Formel also auch als. Als Beispiel erhält man für die 7-te Fibonacci-Zahl etwa den Wert. In diesem Fall ist der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Früchten bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel.

Das liegt daran, dass Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen den zugrunde liegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren. Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen.

Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute.

Der Versatz der Blätter um das irrationale Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z.

Männchen der Honigbiene Apis mellifera werden als Drohnen bezeichnet. Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einer Drohne, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einer Königin.

Unverzweigte aliphatischen Monocarbonsäuren hier: uaM , zu denen im Regelfall die Fettsäuren gehören, können verschieden viele Doppelbindungen an verschiedenen Positionen aufweisen.

Speziell gibt es nur eine aliphatische Monocarbonsäure mit einem C-Atom: Ameisensäure , eine mit zwei C-Atomen: Essigsäure , zwei mit dreien: Propionsäure und Acrylsäure usw.

Bei 18 C-Atomen ergeben sich 2. Fibonacci illustrierte diese Folge durch die einfache mathematische Modellierung des Wachstums einer Population von Kaninchen nach folgenden Regeln:.

In jedem Folgemonat kommt dann zu der Anzahl der Paare, die im Vormonat gelebt haben, eine Anzahl von neugeborenen Paaren hinzu, die gleich der Anzahl derjenigen Paare ist, die bereits im vorvergangenen Monat gelebt hatten, da der Nachwuchs des Vormonats noch zu jung ist, um jetzt schon seinerseits Nachwuchs zu werfen.

Eine erschienene, mathematisch-historische Analyse zum Leben des Leonardo von Pisa, insbesondere zu seinem Aufenthalt in der nordafrikanischen Hafenstadt Bejaia im heutigen Algerien , kam zu dem Schluss, dass der Hintergrund der Fibonacci-Folge gar nicht bei einem Modell der Vermehrung von Kaninchen zu suchen ist was schon länger vermutet wurde , sondern vielmehr bei den Bienenzüchtern von Bejaia und ihrer Kenntnis des Bienenstammbaums zu finden ist.

Wort für Kerze hinweist. Nach den oben angegebenen Regeln ist mit diesen Bezeichnungen:. Die einzelnen Platten sind so arrangiert, dass sie Figuren in den Proportionen der Fibonacci-Zahlen formen.

Fibonacci-Zahlen auf dem Mole Antonelliana in Turin. Die Fibonacci-Zahlen im Zürcher Hauptbahnhof. Die Fibonacci-Folge ist namensgebend für folgende Datenstrukturen, bei deren mathematischer Analyse sie auftritt.

Siehe auch : Verallgemeinerte Fibonacci-Folge. Fibonacci posed the puzzle: how many pairs will there be in one year?

At the end of the n th month, the number of pairs of rabbits is equal to the number of mature pairs that is, the number of pairs in month n — 2 plus the number of pairs alive last month month n — 1.

The number in the n th month is the n th Fibonacci number. Joseph Schillinger — developed a system of composition which uses Fibonacci intervals in some of its melodies; he viewed these as the musical counterpart to the elaborate harmony evident within nature.

Fibonacci sequences appear in biological settings, [32] such as branching in trees, arrangement of leaves on a stem , the fruitlets of a pineapple , [33] the flowering of artichoke , an uncurling fern and the arrangement of a pine cone , [34] and the family tree of honeybees.

The divergence angle, approximately Because this ratio is irrational, no floret has a neighbor at exactly the same angle from the center, so the florets pack efficiently.

Sunflowers and similar flowers most commonly have spirals of florets in clockwise and counter-clockwise directions in the amount of adjacent Fibonacci numbers, [42] typically counted by the outermost range of radii.

Fibonacci numbers also appear in the pedigrees of idealized honeybees, according to the following rules:. Thus, a male bee always has one parent, and a female bee has two.

If one traces the pedigree of any male bee 1 bee , he has 1 parent 1 bee , 2 grandparents, 3 great-grandparents, 5 great-great-grandparents, and so on.

This sequence of numbers of parents is the Fibonacci sequence. It has been noticed that the number of possible ancestors on the human X chromosome inheritance line at a given ancestral generation also follows the Fibonacci sequence.

This assumes that all ancestors of a given descendant are independent, but if any genealogy is traced far enough back in time, ancestors begin to appear on multiple lines of the genealogy, until eventually a population founder appears on all lines of the genealogy.

The pathways of tubulins on intracellular microtubules arrange in patterns of 3, 5, 8 and The Fibonacci numbers occur in the sums of "shallow" diagonals in Pascal's triangle see binomial coefficient : [47].

The Fibonacci numbers can be found in different ways among the set of binary strings , or equivalently, among the subsets of a given set.

The first 21 Fibonacci numbers F n are: [2]. The sequence can also be extended to negative index n using the re-arranged recurrence relation.

Like every sequence defined by a linear recurrence with constant coefficients , the Fibonacci numbers have a closed form expression. In other words,.

It follows that for any values a and b , the sequence defined by. This is the same as requiring a and b satisfy the system of equations:.

Taking the starting values U 0 and U 1 to be arbitrary constants, a more general solution is:. Therefore, it can be found by rounding , using the nearest integer function:.

In fact, the rounding error is very small, being less than 0. Fibonacci number can also be computed by truncation , in terms of the floor function :.

Johannes Kepler observed that the ratio of consecutive Fibonacci numbers converges. For example, the initial values 3 and 2 generate the sequence 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, , , , , The ratio of consecutive terms in this sequence shows the same convergence towards the golden ratio.

The resulting recurrence relationships yield Fibonacci numbers as the linear coefficients:. This equation can be proved by induction on n.

A 2-dimensional system of linear difference equations that describes the Fibonacci sequence is. From this, the n th element in the Fibonacci series may be read off directly as a closed-form expression :.

Equivalently, the same computation may performed by diagonalization of A through use of its eigendecomposition :. This property can be understood in terms of the continued fraction representation for the golden ratio:.

The matrix representation gives the following closed-form expression for the Fibonacci numbers:. Taking the determinant of both sides of this equation yields Cassini's identity ,.

This matches the time for computing the n th Fibonacci number from the closed-form matrix formula, but with fewer redundant steps if one avoids recomputing an already computed Fibonacci number recursion with memoization.

The question may arise whether a positive integer x is a Fibonacci number. This formula must return an integer for all n , so the radical expression must be an integer otherwise the logarithm does not even return a rational number.

Here, the order of the summand matters. One group contains those sums whose first term is 1 and the other those sums whose first term is 2.

It follows that the ordinary generating function of the Fibonacci sequence, i. Numerous other identities can be derived using various methods. Some of the most noteworthy are: [60].

The last is an identity for doubling n ; other identities of this type are. These can be found experimentally using lattice reduction , and are useful in setting up the special number field sieve to factorize a Fibonacci number.

More generally, [60]. The generating function of the Fibonacci sequence is the power series. This can be proved by using the Fibonacci recurrence to expand each coefficient in the infinite sum:.

In particular, if k is an integer greater than 1, then this series converges. Infinite sums over reciprocal Fibonacci numbers can sometimes be evaluated in terms of theta functions.

For example, we can write the sum of every odd-indexed reciprocal Fibonacci number as. No closed formula for the reciprocal Fibonacci constant.

The Millin series gives the identity [64]. Every third number of the sequence is even and more generally, every k th number of the sequence is a multiple of F k.

Thus the Fibonacci sequence is an example of a divisibility sequence. In fact, the Fibonacci sequence satisfies the stronger divisibility property [65] [66].

Any three consecutive Fibonacci numbers are pairwise coprime , which means that, for every n ,. These cases can be combined into a single, non- piecewise formula, using the Legendre symbol : [67].

If n is composite and satisfies the formula, then n is a Fibonacci pseudoprime. Here the matrix power A m is calculated using modular exponentiation , which can be adapted to matrices.

A Fibonacci prime is a Fibonacci number that is prime. The first few are:. Fibonacci primes with thousands of digits have been found, but it is not known whether there are infinitely many.

As there are arbitrarily long runs of composite numbers , there are therefore also arbitrarily long runs of composite Fibonacci numbers. The only nontrivial square Fibonacci number is Bugeaud, M.

Mignotte, and S. Siksek proved that 8 and are the only such non-trivial perfect powers. No Fibonacci number can be a perfect number. Such primes if there are any would be called Wall—Sun—Sun primes.

For odd n , all odd prime divisors of F n are congruent to 1 modulo 4, implying that all odd divisors of F n as the products of odd prime divisors are congruent to 1 modulo 4.

Determining a general formula for the Pisano periods is an open problem, which includes as a subproblem a special instance of the problem of finding the multiplicative order of a modular integer or of an element in a finite field.

However, for any particular n , the Pisano period may be found as an instance of cycle detection. Starting with 5, every second Fibonacci number is the length of the hypotenuse of a right triangle with integer sides, or in other words, the largest number in a Pythagorean triple.

The length of the longer leg of this triangle is equal to the sum of the three sides of the preceding triangle in this series of triangles, and the shorter leg is equal to the difference between the preceding bypassed Fibonacci number and the shorter leg of the preceding triangle.

The first triangle in this series has sides of length 5, 4, and 3. This series continues indefinitely. The triangle sides a , b , c can be calculated directly:.

The Fibonacci sequence is one of the simplest and earliest known sequences defined by a recurrence relation , and specifically by a linear difference equation.

All these sequences may be viewed as generalizations of the Fibonacci sequence. In particular, Binet's formula may be generalized to any sequence that is a solution of a homogeneous linear difference equation with constant coefficients.

From Wikipedia, the free encyclopedia. Integer in the infinite Fibonacci sequence. For the chamber ensemble, see Fibonacci Sequence ensemble.

Further information: Patterns in nature. Main article: Golden ratio. Main article: Cassini and Catalan identities.

Main article: Fibonacci prime. Main article: Pisano period. Main article: Generalizations of Fibonacci numbers. Wythoff array Fibonacci retracement.

In this way, for six, [variations] of four [and] of five being mixed, thirteen happens. And like that, variations of two earlier meters being mixed, seven morae [is] twenty-one.

OEIS Foundation.

Dazwischen war sie aber auch den Mathematikern Leonhard Euler und Daniel Bernoulli bekannt, Letzterer lieferte auch den vermutlich ersten Beweis.

Einer der einfachsten Beweise gelingt induktiv. Die Formel von Binet kann mit Matrizenrechnung und dem Eigenwertproblem in der linearen Algebra hergeleitet werden mittels folgendem Ansatz:.

Damit folgt:. Eine andere Herleitungsmöglichkeit folgt aus der Theorie der linearen Differenzengleichungen :. Da Differenzengleichungen sehr elegant mittels z-Transformation beschrieben werden können, kann man die z-Transformation auch zur Herleitung der expliziten Formel für Fibonacci-Zahlen einsetzen.

Im Artikel Einsatz der z-Transformation zur Bestimmung expliziter Formeln von Rekursionsvorschriften wird die allgemeine Vorgehensweise beschrieben und dann am Beispiel der Fibonacci-Zahlenfolge erläutert.

Mithilfe der Formel von Moivre-Binet lässt sich eine einfach Herleitung angeben. Eine erzeugende Funktion der Fibonacci-Zahlen ist. Über die angegebene Partialbruchzerlegung erhält man wiederum die Formel von de Moivre-Binet.

Mit einer geeigneten erzeugenden Funktion lässt sich ein Zusammenhang zwischen den Fibonacci-Zahlen und den Binomialkoeffizienten darstellen:.

Die Fibonacci-Zahlen können mithilfe des Pascalschen Dreiecks beschrieben werden. Um die n-te Fibonacci-Zahl zu bestimmen, nimmt man aus der n-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks jede zweite Zahl und gewichtet sie mit der entsprechenden Fünfer-Potenz — anfangend mit 0 in aufsteigender Reihenfolge, d.

Ausgehend von der expliziten Formel für die Fibonacci-Zahlen s. Formel von Moivre-Binet weiter unten in diesem Artikel.

Vergleicht man die unter dem Summenzeichen verbliebenen Binomialkoeffizienten mit denen im Pascalschen Dreieck , erkennt man das es sich dabei um jeden zweiten Koeffizienten in der entsprechenden Zeile des Dreiecks handelt wie es im Bild oben visualisiert ist.

Man kann die Formel also auch als. Als Beispiel erhält man für die 7-te Fibonacci-Zahl etwa den Wert.

In diesem Fall ist der Winkel zwischen architektonisch benachbarten Blättern oder Früchten bezüglich der Pflanzenachse der Goldene Winkel.

Das liegt daran, dass Brüche von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen den zugrunde liegenden Goldenen Schnitt am besten approximieren.

Die Spiralen werden daher von Pflanzenelementen gebildet, deren Platznummern sich durch die Fibonacci-Zahl im Nenner unterscheiden und damit fast in die gleiche Richtung weisen.

Durch diese spiralförmige Anordnung der Blätter um die Sprossachse erzielt die Pflanze die beste Lichtausbeute. Der Versatz der Blätter um das irrationale Verhältnis des Goldenen Winkels sorgt dafür, dass nie Perioden auftauchen, wie es z.

Männchen der Honigbiene Apis mellifera werden als Drohnen bezeichnet. Jedes Paar nicht geschlechtsreifer Kaninchen entspricht einer Drohne, jedes Paar geschlechtsreifer Kaninchen einer Königin.

Unverzweigte aliphatischen Monocarbonsäuren hier: uaM , zu denen im Regelfall die Fettsäuren gehören, können verschieden viele Doppelbindungen an verschiedenen Positionen aufweisen.

Speziell gibt es nur eine aliphatische Monocarbonsäure mit einem C-Atom: Ameisensäure , eine mit zwei C-Atomen: Essigsäure , zwei mit dreien: Propionsäure und Acrylsäure usw.

It follows that for any values a and b , the sequence defined by. This is the same as requiring a and b satisfy the system of equations:.

Taking the starting values U 0 and U 1 to be arbitrary constants, a more general solution is:. Therefore, it can be found by rounding , using the nearest integer function:.

In fact, the rounding error is very small, being less than 0. Fibonacci number can also be computed by truncation , in terms of the floor function :.

Johannes Kepler observed that the ratio of consecutive Fibonacci numbers converges. For example, the initial values 3 and 2 generate the sequence 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, , , , , The ratio of consecutive terms in this sequence shows the same convergence towards the golden ratio.

The resulting recurrence relationships yield Fibonacci numbers as the linear coefficients:. This equation can be proved by induction on n.

A 2-dimensional system of linear difference equations that describes the Fibonacci sequence is. From this, the n th element in the Fibonacci series may be read off directly as a closed-form expression :.

Equivalently, the same computation may performed by diagonalization of A through use of its eigendecomposition :.

This property can be understood in terms of the continued fraction representation for the golden ratio:. The matrix representation gives the following closed-form expression for the Fibonacci numbers:.

Taking the determinant of both sides of this equation yields Cassini's identity ,. This matches the time for computing the n th Fibonacci number from the closed-form matrix formula, but with fewer redundant steps if one avoids recomputing an already computed Fibonacci number recursion with memoization.

The question may arise whether a positive integer x is a Fibonacci number. This formula must return an integer for all n , so the radical expression must be an integer otherwise the logarithm does not even return a rational number.

Here, the order of the summand matters. One group contains those sums whose first term is 1 and the other those sums whose first term is 2.

It follows that the ordinary generating function of the Fibonacci sequence, i. Numerous other identities can be derived using various methods.

Some of the most noteworthy are: [60]. The last is an identity for doubling n ; other identities of this type are. These can be found experimentally using lattice reduction , and are useful in setting up the special number field sieve to factorize a Fibonacci number.

More generally, [60]. The generating function of the Fibonacci sequence is the power series. This can be proved by using the Fibonacci recurrence to expand each coefficient in the infinite sum:.

In particular, if k is an integer greater than 1, then this series converges. Infinite sums over reciprocal Fibonacci numbers can sometimes be evaluated in terms of theta functions.

For example, we can write the sum of every odd-indexed reciprocal Fibonacci number as. No closed formula for the reciprocal Fibonacci constant.

The Millin series gives the identity [64]. Every third number of the sequence is even and more generally, every k th number of the sequence is a multiple of F k.

Thus the Fibonacci sequence is an example of a divisibility sequence. In fact, the Fibonacci sequence satisfies the stronger divisibility property [65] [66].

Any three consecutive Fibonacci numbers are pairwise coprime , which means that, for every n ,. These cases can be combined into a single, non- piecewise formula, using the Legendre symbol : [67].

If n is composite and satisfies the formula, then n is a Fibonacci pseudoprime. Here the matrix power A m is calculated using modular exponentiation , which can be adapted to matrices.

A Fibonacci prime is a Fibonacci number that is prime. The first few are:. Fibonacci primes with thousands of digits have been found, but it is not known whether there are infinitely many.

As there are arbitrarily long runs of composite numbers , there are therefore also arbitrarily long runs of composite Fibonacci numbers. The only nontrivial square Fibonacci number is Bugeaud, M.

Mignotte, and S. Siksek proved that 8 and are the only such non-trivial perfect powers. No Fibonacci number can be a perfect number.

Such primes if there are any would be called Wall—Sun—Sun primes. For odd n , all odd prime divisors of F n are congruent to 1 modulo 4, implying that all odd divisors of F n as the products of odd prime divisors are congruent to 1 modulo 4.

Determining a general formula for the Pisano periods is an open problem, which includes as a subproblem a special instance of the problem of finding the multiplicative order of a modular integer or of an element in a finite field.

However, for any particular n , the Pisano period may be found as an instance of cycle detection. Starting with 5, every second Fibonacci number is the length of the hypotenuse of a right triangle with integer sides, or in other words, the largest number in a Pythagorean triple.

The length of the longer leg of this triangle is equal to the sum of the three sides of the preceding triangle in this series of triangles, and the shorter leg is equal to the difference between the preceding bypassed Fibonacci number and the shorter leg of the preceding triangle.

The first triangle in this series has sides of length 5, 4, and 3. This series continues indefinitely. The triangle sides a , b , c can be calculated directly:.

The Fibonacci sequence is one of the simplest and earliest known sequences defined by a recurrence relation , and specifically by a linear difference equation.

All these sequences may be viewed as generalizations of the Fibonacci sequence. In particular, Binet's formula may be generalized to any sequence that is a solution of a homogeneous linear difference equation with constant coefficients.

From Wikipedia, the free encyclopedia. Integer in the infinite Fibonacci sequence. For the chamber ensemble, see Fibonacci Sequence ensemble.

Further information: Patterns in nature. Main article: Golden ratio. Main article: Cassini and Catalan identities. Main article: Fibonacci prime. Main article: Pisano period.

Main article: Generalizations of Fibonacci numbers. Wythoff array Fibonacci retracement. In this way, for six, [variations] of four [and] of five being mixed, thirteen happens.

And like that, variations of two earlier meters being mixed, seven morae [is] twenty-one. OEIS Foundation.

In this way Indian prosodists were led to discover the Fibonacci sequence, as we have observed in Section 1. Singh Historia Math 12 —44]" p.

Historia Mathematica. Academic Press. Northeastern University : Retrieved 4 January The University of Utah. Retrieved 28 November New York: Sterling.

Ron 25 September University of Surrey. Retrieved 27 November American Museum of Natural History. Archived from the original on 4 May Retrieved 4 February Retrieved Physics of Life Reviews.

Bibcode : PhLRv.. Enumerative Combinatorics I 2nd ed. Cambridge Univ. Analytic Combinatorics.

3 comments

  1. Tygolrajas

    ich beglückwünsche, Ihr Gedanke ist prächtig

  2. Kigashura

    Gerade in apple

  3. Arashihn

    Die sympathische Phrase

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